四地賢夫 / 高考數學 / 高中數學,圓錐曲線的題型不會,高考就危...

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高中數學,圓錐曲線的題型不會,高考就危險,經典題型,步驟清晰

2020-10-12  四地賢夫

    原題

    原題:已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的長軸長為4,右焦點為F,且橢圓C上的點到點F的距離最小值與最大值的積為1,圓O:x^2+y^2=1與x軸交於A,B兩點。

    ⑴求橢圓C的方程;

    ⑵動直線L:y=kx+m與橢圓C交於P,Q兩點,且直線L與圓O相切,求△APQ的面積與△BPQ的面積乘積的取值範圍。

  • 圖一
  • 這道題的第一問是考察我們基礎的橢圓知識點。

    該題的第二問是考察直線和圓錐曲線的題,這樣的題都是結合偉大定理,將直線和圓錐曲線的交點座標用給出的直線y=kx+m中的字母k和m來表示,根據各種關係建立等量關係,最後可以通過基本不等式或者k的範圍來求出我們要求出的結果。

    那這裏給出圓O的作用是什麼呢?

    這裏給出圓O的作用就是得出k和m的關係,因為後面的表示出的等量關係如果是兩個字母的話,很難根據兩個字母的範圍求解出結果來,且m的範圍還是比較難求的,所以對於多給出的已知條件一般都是為了去掉m,將得出的結果只保留直線L的斜率k的形式。

    下面就在講解題的過程中詳細的説明圓O的用法和直線與圓錐曲線常規的解法。

    第一問

    第一問是求橢圓C的方程。

    要想求出該橢圓C的方程,需要知道這幾個知識點:當橢圓的焦點在x軸上時,橢圓的長軸為2a,橢圓的短軸為2b;橢圓上的點到橢圓右焦點的距離為最小值時,該點是橢圓的右頂點。橢圓上的點到橢圓右焦點的距離為最大值時,該點是橢圓的左頂點。

    因為長軸的長是4,所以有2a=4,即a=2.

    因為橢圓C上的點到點F的距離最小值與最大值的積為1,所以有(a-c)(a+c)=1,即a^2=c^2+1.

    根據橢圓的參數之間的關係有a^2=b^2+c^2,所以b^2=1,c^2=3,所以b=1,c=√3.

    所以該橢圓C的方程為x^2/4+y^2=1.

    第二問

    第二問是求出△APQ的面積與△BPQ的面積乘積的取值範圍。

    根據題意畫出圖形,這也是解題必備的。

  • 圖二
  • 這道題解題的關鍵就是將這兩個三角形面積的乘積與偉大定理結合,即將這兩個三角形面積的乘積用直線中的字母k來表示,然後再根據k的範圍或者不等式得出這兩個三角形面積乘積的範圍。

    為了更為有效地將這兩個三角形面積乘積用直線L中的字母k來表示,我們要選擇一個公共邊,而這個公共邊就是直線L所在的邊,即為PQ。

    因為直線PQ中的P、Q座標與直線L中的k可以使用韋達定理將它們聯繫起來。

    第一步,設出P、Q兩點座標,將根和係數關係表示出來。

    設P、Q兩點的座標分別為(x1,y1)和(x2,y2)。

    將直線L:y=kx+m與橢圓C:x^2/4+y^2=1聯立得到(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0。

    根據韋達定理有x1+x2=-8kmx/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)。

    第二步,根據根與係數之間的關係,將三角形的公共邊表示出來。

    |PQ|=√(1+k^2)·[√((x1+x2)^2-4x1x2)]

    =√(1+k^2)·[√((-8kmx/(1+4k^2))^2-4(4m^2-4)/(1+4k^2))]

    =√(1+k^2)·√(16(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2)^2)。

    第三步,將這兩個三角形面積的乘積用k和m表示出來。

    因為直線L與圓O相切,所以點O到直線L的距離d=|m|/√(1+k^2)=1,所以有1+k^2=m^2.

    因為A(-1,0),B(1,0),所以這兩點到直線PQ的距離分別為

    d1=|k-m|/√(1+k^2),d2=|k+m|/√(1+k^2)。

    所以△APQ的面積為S△APQ=|PQ|·d1/2,△BPQ的面積為S△BPQ=|PQ|·d2/2。

    所以△APQ的面積與△BPQ的面積乘積為

    S△APQ·S△BPQ=|PQ|^2·d1·d2/4

    =(1+k^2)·(16(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2)^2)·|k-m|/√(1+k^2)·|k+m|/√(1+k^2)·1/4

    =4(1+4k^2-m^2)|k^2-m^2|/(1+4k^2)^2.

    第四步,去掉m,將這兩個三角形面積乘積變成單一變量的形式。

    因為1+k^2=m^2,所以S△APQ·S△BPQ=4(1+4k^2-1-k^2)|k^2-1-k^2|/(1+4k^2)^2=12k^2/(1+4k^2)^2。

    第五步,得出k範圍,使用基本不等式求出這兩個三角形面積乘積的取值範圍。

    因為直線L與橢圓有兩個交點,所以直線與橢圓聯立得到的方程的判別式△>0,所以有判別式△=16(1+4k^2-m^2)>0,即△=48k^2>0,即k^2>0.

    將上述等式上下同時除以k^2變形得到

    S△APQ·S△BPQ=12k^2/(1+4k^2)^2=12/(16k^2+1/k^2+8).

    根據基本不等式有16k^2+1/k^2+8≥2√(16k^2·1/k^2)+8=16,當且僅當16k^2=1/k^2,即k^2=1/4時等號成立。

    所以S△APQ·S△BPQ≤12/16=3/4,當且僅當k^2=1/4時等號成立。

    因為k^2>0,所以S△APQ·S△BPQ=12/(16k^2+1/k^2+8)>0的。

    所以S△APQ·S△BPQ的取值範圍為(0,3/4]。

  • 圖三
  • 總結

    該題中需要注意兩點:第一,圓O的作用,很多同學不知道圓O的作用,很容易將k和m的關係這條已知丟掉了,而得不出最後的範圍;第二,就是對△APQ的面積與△BPQ的面積乘積的表示方式要都以|PQ|為底邊的形式去表示這兩個三角形面積乘積。

    高中數學,將橢圓中S△HMA=6S△PHN與韋達定理聯繫起來,它才是橋樑

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